Т3. а) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 24 см. Вершины треугольника находятся на сфере. Определите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 13 см.

Вписанная в плоскость треугольника окружность имеет центр в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. У прямоугольного треугольника этот центр — середина гипотенузы, поэтому радиус окружности, проходящей через вершины треугольника, равен \(24:2=12\) см.

Пусть \(d\) — расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Перпендикуляр из центра сферы к плоскости проходит через центр окружности сечения. По теореме Пифагора: \(13^2=d^2+12^2\), откуда \(d^2=169-144=25\), значит, \(d=5\) см.

Ответ: 5 см.