Т5. а) Около правильной треугольной призмы описан шар радиуса 6. Найдите радиус вписанного шара.

Для правильной треугольной призмы вписанный шар касается двух оснований и боковых граней. Обозначим его радиус через \(r\). Тогда высота призмы равна \(2r\), а радиус вписанной в равностороннее основание окружности равен \(r\).

У равностороннего треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной, поэтому радиус описанной около основания окружности равен \(2r\). Центр описанного около призмы шара равноудалён от двух оснований, и расстояние от него до центра основания равно \(r\). По теореме Пифагора для радиуса описанного шара:

\(6^2=(2r)^2+r^2=5r^2\), следовательно, \(r^2=36/5\) и \(r=6/\sqrt{5}=6\sqrt{5}/5\).

Ответ: \(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\).