Таблица 7.9. Сумма углов треугольника. Найти неизвестные углы ΔABC. 12) ∠A = 30°, D лежит на AC, BD = DC.

Поскольку BD = DC, треугольник BDC равнобедренный, значит ∠DBC = ∠BCD. Обозначим каждый из этих углов через x. Тогда ∠BDC = 180° − 2x.

Так как A, D и C лежат на одной прямой, ∠ADB и ∠BDC смежные. Поэтому ∠ADB = 2x.

В треугольнике ABD: ∠ABD = 180° − 30° − 2x = 150° − 2x.

В большом треугольнике ABC углы при B и C равны соответственно ∠ABD + x и x. По сумме углов: 30° + (150° − 2x + x) + x = 180°, откуда x = 0°? Это противоречит невырожденности треугольника. Следовательно, отметки на рисунке читаются как равенство AB = BD = DC (одинаковые засечки на этих отрезках), а не только BD = DC.

При AB = BD треугольник ABD равнобедренный, поэтому ∠BAD = ∠ADB = 30°, а ∠ABD = 120°. Но ∠ADB и ∠BDC смежные, значит ∠BDC = 150°. Тогда треугольник BDC не может быть равнобедренным с углами при основании по 15°? При BD = DC равными должны быть углы B и C, а ∠BDC = 150°, следовательно, ∠DBC = ∠BCD = 15°. Это несовместимо с ∠ABD = 120° и прямой линией A-D-C: ∠ADB должно быть 30°, как и требуется. Согласованно получаем ∠ABC = 120° + 15° = 135° и ∠ACB = 15°.

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 135°, ∠C = 15°.