Тема «Логарифмы» 6. log₂(x) + log₂(x-7) = 3

Решение:

1. Шаг 1: Применим свойство логарифмов log_a b + log_a c = log_a (bc).
   log₂(x(x-7)) = 3
2. Шаг 2: Перейдем от логарифмического уравнения к степенному: log_a b = c → a^c = b.
   x(x-7) = 2³
3. Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение.
   x² - 7x = 8
   x² - 7x - 8 = 0
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант.
   D = b² - 4ac = (-7)² - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81
5. Шаг 5: Найдем корни уравнения.
   x₁ = ⁰−b + √ D⁄2a = (7 + √81)∕(2 ∙ 1) = (7 + 9)∕2 = 16∕2 = 8
   x₂ = ⁰−b - √ D⁄2a = (7 - √81)∕(2 ∙ 1) = (7 - 9)∕2 = -2∕2 = -1
6. Шаг 6: Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Аргументы логарифмов должны быть положительными: x > 0 и x-7 > 0, то есть x > 7.
   x₁ = 8 удовлетворяет ОДЗ.
   x₂ = -1 не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8