2tga-ctga 3) tga+ctga sin a Задание 4. Докажите тождество + 1+cos 1+cos a sin a = 2 sin a

3) $$\frac{2tq\alpha-ctg\alpha}{tq\alpha+ctg\alpha}$$

Преобразуем тангенс и котангенс через синус и косинус:

$$tq\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$$, $$ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$$

Тогда, $$\frac{2tq\alpha-ctg\alpha}{tq\alpha+ctg\alpha}=\frac{2\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}=\frac{\frac{2sin^2\alpha-cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}}{\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}}=\frac{2sin^2\alpha-cos^2\alpha}{1}=2sin^2\alpha-cos^2\alpha$$

Используем формулу $$cos^2\alpha+sin^2\alpha=1$$

Получим, что $$2sin^2\alpha-cos^2\alpha=2sin^2\alpha-(1-sin^2\alpha)=3sin^2\alpha-1$$

Ответ: $$3sin^2\alpha-1$$

Задание 4. Докажите тождество

$$\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}$$

Приведем к общему знаменателю $$\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin^2\alpha+(1+cos\alpha)^2}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\frac{sin^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}$$

Так как $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$$, то $$\frac{sin^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\frac{2+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\frac{2(1+cos\alpha)}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\frac{2}{sin\alpha}$$

Следовательно, $$\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}$$

Ответ: тождество доказано