10. Тип 10 № 7450 / Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Найдите площадь трапеции.

Пошаговое решение:

1. Пусть основания трапеции \(a = 18\) и \(b = 12\), боковая сторона \(c = 6\).
2. Тангенс угла между боковой стороной и основанием равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Пусть высота трапеции равна \(h\). Тогда \(\tan(\alpha) = \frac{h}{x} = \frac{\sqrt{2}}{4}\), где \(x\) — проекция боковой стороны на большее основание.
3. Также известно, что \(x^2 + h^2 = c^2 = 6^2 = 36\). Выразим \(x\) через \(h\): \(x = \frac{4h}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}h\).
4. Подставим в уравнение: \((2\sqrt{2}h)^2 + h^2 = 36\), \(8h^2 + h^2 = 36\), \(9h^2 = 36\), \(h^2 = 4\), \(h = 2\).
5. Площадь трапеции равна \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18+12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30\).

Ответ: 30