21. Тип 21 № 338972. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение: 1. Обозначим скорость первого автомобиля как $$v_1$$, а скорость второго как $$v_2$$. Тогда $$v_1 = v_2 + 20$$. 2. Пусть время, которое потратил первый автомобиль, равно $$t_1$$, а время второго – $$t_2$$. Тогда $$t_2 = t_1 + 1$$. 3. Расстояние равно скорости, умноженной на время: $$s = v * t$$. Для обоих автомобилей расстояние одинаково и равно 240 км. 4. Составим систему уравнений: * $$v_1 * t_1 = 240$$ * $$v_2 * t_2 = 240$$ * $$v_1 = v_2 + 20$$ * $$t_2 = t_1 + 1$$ 5. Выразим $$v_2$$ из третьего уравнения: $$v_2 = v_1 - 20$$. 6. Выразим $$t_1$$ из первого уравнения: $$t_1 = \frac{240}{v_1}$$. 7. Выразим $$t_2$$ из второго уравнения: $$t_2 = \frac{240}{v_2}$$. 8. Подставим выраженные значения $$v_2$$ и $$t_2$$ в четвертое уравнение: $$\frac{240}{v_1 - 20} = \frac{240}{v_1} + 1$$. 9. Решим полученное уравнение относительно $$v_1$$: * Умножим обе части уравнения на $$v_1(v_1 - 20)$$: $$240v_1 = 240(v_1 - 20) + v_1(v_1 - 20)$$. * Раскроем скобки: $$240v_1 = 240v_1 - 4800 + v_1^2 - 20v_1$$. * Упростим уравнение: $$v_1^2 - 20v_1 - 4800 = 0$$. 10. Решим квадратное уравнение: $$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 * 1 * (-4800)}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 \pm 140}{2}$$. 11. Найдем корни: $$v_{1,1} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$$ и $$v_{1,2} = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$$. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение. Ответ: 80 км/ч.