22. Тип 22 № 314407. При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = -x^2 + 2px + 3$$ и $$y = x^2 - 6px + p$$ расположены по разные стороны от оси $$x$$?

Решение: 1. Найдем координаты вершин парабол. Вершина параболы $$y = ax^2 + bx + c$$ имеет абсциссу $$x_в = -\frac{b}{2a}$$. Ордината вершины $$y_в$$ находится путем подстановки $$x_в$$ в уравнение параболы. 2. Для первой параболы $$y = -x^2 + 2px + 3$$: $$x_{в1} = -\frac{2p}{2 * (-1)} = p$$. Тогда $$y_{в1} = -(p)^2 + 2p(p) + 3 = -p^2 + 2p^2 + 3 = p^2 + 3$$. 3. Для второй параболы $$y = x^2 - 6px + p$$: $$x_{в2} = -\frac{-6p}{2 * 1} = 3p$$. Тогда $$y_{в2} = (3p)^2 - 6p(3p) + p = 9p^2 - 18p^2 + p = -9p^2 + p$$. 4. Вершины парабол расположены по разные стороны от оси $$x$$, если знаки их ординат различны, то есть $$y_{в1} * y_{в2} < 0$$. 5. Составим неравенство: $$(p^2 + 3)(-9p^2 + p) < 0$$. 6. Так как $$p^2 + 3 > 0$$ для любого $$p$$, разделим обе части неравенства на $$(p^2 + 3)$$: $$-9p^2 + p < 0$$. 7. Вынесем $$p$$ за скобки: $$p(-9p + 1) < 0$$. 8. Найдем корни: $$p = 0$$ или $$-9p + 1 = 0$$, откуда $$p = \frac{1}{9}$$. 9. Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим интервалы $$(-\infty; 0)$$, $$(0; \frac{1}{9})$$, $$(\frac{1}{9}; +\infty)$$. * На интервале $$(-\infty; 0)$$, например, $$p = -1$$: $$-1(-9 * (-1) + 1) = -1(9 + 1) = -10 < 0$$. Неравенство выполняется. * На интервале $$(0; \frac{1}{9})$$, например, $$p = \frac{1}{18}$$: $$\frac{1}{18}(-9 * \frac{1}{18} + 1) = \frac{1}{18}(-\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{18} * \frac{1}{2} = \frac{1}{36} > 0$$. Неравенство не выполняется. * На интервале $$(\frac{1}{9}; +\infty)$$, например, $$p = 1$$: $$1(-9 * 1 + 1) = -8 < 0$$. Неравенство выполняется. Ответ: $$p \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{9}; +\infty)$$.