11. Тип 11 № 7497 i Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра?

Додекаэдр имеет 30 ребер и 20 вершин.

Каждая вершина додекаэдра имеет степень 3, то есть из каждой вершины выходит 3 ребра.

Чтобы обойти все ребра додекаэдра, нужно пройти каждое ребро хотя бы один раз.

Если мы будем проходить каждое ребро только один раз, то в каждой вершине мы будем использовать 3 ребра. Это значит, что для каждой вершины мы должны либо начинать, либо заканчивать обход.

Так как у нас 20 вершин, то мы должны 20 раз либо начинать, либо заканчивать обход.

Но каждый обход имеет только одно начало и один конец. Значит, нужно пройти несколько ребер дважды.

Посчитаем, сколько ребер нужно пройти дважды. Каждая вершина должна быть концом четного числа ребер (чтобы можно было войти и выйти из вершины).

Так как каждая вершина имеет степень 3, нужно добавить еще одно ребро к каждой вершине, чтобы сделать ее степень четной (4).

Всего нужно добавить 20 ребер (по одному для каждой вершины), но каждое ребро соединяет две вершины, поэтому нужно пройти дважды \(\frac{20}{2} = 10\) ребер.

Ответ: 10