22. Тип 22 № 314791 i При каком значении р прямая у = х + р имеет с параболой у = х2 – 3х ровно одну общую точку? Найдите координа- ты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении р.

Чтобы прямая и парабола имели ровно одну общую точку, нужно, чтобы уравнение, полученное приравниванием уравнений прямой и параболы, имело ровно одно решение.

$$x + p = x^2 - 3x$$

$$x^2 - 4x - p = 0$$

Дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p$$

$$16 + 4p = 0$$

$$4p = -16$$

$$p = -4$$

Тогда уравнение примет вид:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

$$x = 2$$

Найдем y:

$$y = x + p = 2 + (-4) = -2$$

Координаты точки (2; -2)

Ответ: p = -4; (2; -2)