15. Тип 15 № 311320 i В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы СП и АМ пересекаются в точке Р. Найдите ∠MPN.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором биссектрисы CP и AM пересекаются в точке P. Нужно найти угол ∠MPN.

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Так как треугольник ABC равносторонний, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

2. CP и AM являются биссектрисами, поэтому они делят углы C и A пополам.

∠ACP = ∠BCP = ∠A/2 = 60°/2 = 30°

∠CAM = ∠BAM = ∠C/2 = 60°/2 = 30°

3. Рассмотрим треугольник APC.

∠PAC = ∠CAM = 30°

∠PCA = ∠ACP = 30°

4. Найдем угол ∠APC в треугольнике APC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠APC = 180° - (∠PAC + ∠PCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

5. Угол ∠MPN является вертикальным углом к углу ∠APC. Вертикальные углы равны.

∠MPN = ∠APC = 120°

Таким образом, угол ∠MPN равен 120°.

Ответ: 120