15. Тип 15 № 339544 i) В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Сначала найдем длину отрезка AH:

AH = AC - HC = 216 - 54 = 162

Теперь найдем длину отрезка MH:

MH = AH - AM = AH - (AC / 2) = 162 - (216 / 2) = 162 - 108 = 54

Таким образом, MH = HC = 54.

Из этого следует, что треугольник BHC — равнобедренный, так как высота BH является и медианой (или наоборот).

Значит, ∠HBC = ∠HCB = 40°.

Теперь рассмотрим треугольник ABH:

∠BHA = 90° (так как BH — высота)

Следовательно, ∠HBA = 90° - ∠BAC.

Рассмотрим треугольник ВНМ, он тоже равнобедренный, значит углы при основании равны.

Угол MBH = углу BMH

∠HMB = (180 - ∠HBM) / 2.

Рассмотрим треугольник AMB:

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Нам надо найти угол AMB

Угол AMB = 180 - (угол ABM + угол BAM) = 276

Ответ: 276°

Проверка за 10 секунд: Угол AMB является внешним углом треугольника BHM.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Понимание свойств медианы и высоты сильно упрощает решение.