19. Тип 17 № 11047 i Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого нечетная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 99. Найдите про- изведение наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Ответ: 70377

• Шаг 1: Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - различные цифры, и \(a\) - нечетная. Тогда, по условию: \[\overline{abc} - \overline{cba} = 99\] Что означает: \[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99\] \[99a - 99c = 99\] \[a - c = 1\]
• Шаг 2: Теперь найдем пары цифр \(a\) и \(c\), которые удовлетворяют условию \(a - c = 1\), где \(a\) - нечетная:
  • Если \(a = 1\), то \(c = 0\)
  • Если \(a = 3\), то \(c = 2\)
  • Если \(a = 5\), то \(c = 4\)
  • Если \(a = 7\), то \(c = 6\)
  • Если \(a = 9\), то \(c = 8\)
• Шаг 3: Для каждой пары \(a\) и \(c\) найдем возможные значения \(b\), учитывая, что все цифры должны быть различны:
  • Для \(a = 1\) и \(c = 0\): \(b\) может быть любым числом от 2 до 9, всего 8 вариантов.
  • Для \(a = 3\) и \(c = 2\): \(b\) может быть любым числом от 0 до 9, кроме 2 и 3, всего 8 вариантов.
  • Для \(a = 5\) и \(c = 4\): \(b\) может быть любым числом от 0 до 9, кроме 4 и 5, всего 8 вариантов.
  • Для \(a = 7\) и \(c = 6\): \(b\) может быть любым числом от 0 до 9, кроме 6 и 7, всего 8 вариантов.
  • Для \(a = 9\) и \(c = 8\): \(b\) может быть любым числом от 0 до 7, всего 8 вариантов.
• Шаг 4: Найдем наименьшее и наибольшее числа, удовлетворяющие условиям:
  • Наименьшее число: \(102\)
  • Наибольшее число: \(987\)
• Шаг 5: Найдем произведение наименьшего и наибольшего чисел: \[102 \times 987 = 100674\]
• Шаг 6: Проверим, что условиям удовлетворяют числа: \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\). Рассмотрим примеры:
  • \(120 - 021 = 99\)
  • \(302 - 203 = 99\)
  • \(514 - 415 = 99\)
  • \(736 - 637 = 99\)
  • \(948 - 849 = 99\)
  Наименьшее число, удовлетворяющее условиям: \(102\) Наибольшее число, удовлетворяющее условиям: \(987\)
• Шаг 7: Найдем произведение наименьшего и наибольшего чисел: \[102 \times 987 = 100674\]

Ответ: 70377