3. Тип 15 № 339390: В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Пусть $$AC = 84$$, $$BC = BM$$. Так как BM - медиана, то $$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42$$. Значит, $$AM = MC = 42$$. Так как $$BC=BM$$, то треугольник BMC равнобедренный. Пусть угол $$BCM=\alpha$$, тогда угол $$BMC=\alpha$$. Угол $$AMB$$ является смежным с углом $$BMC$$, поэтому $$\angle AMB = 180^{\circ} - \alpha$$. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Так как BH - высота, то угол $$BHA = 90^{\circ}$$. Нам нужно найти $$AH$$. Для этого нужно найти, чему равен угол $$A$$. Треугольник $$ABC$$:$$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C$$. Угол $$C$$ нам известен. Сделаем дополнительное построение. Пусть медиана BM равна стороне BC, и углы BCM и BMC равны. Пусть угол BCM = x, значит, угол BMC тоже x. Тогда смежный угол BMA = 180 - x. В треугольнике AMB известны AM = 42. BM=BC. В треугольнике ABC известны BC = BM. Известно, что BH - высота, то есть AH перпендикулярна BC. Значит угол BHA = 90. Если медиана BM равна BC, то AH=MC. AH=42