9. Тип 16 № 8107: Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если \(\angle ABC = 36°\). Ответ дайте в градусах.

1. **Обозначим углы:** Пусть \(\angle CAB = \alpha\). Так как биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC, то соответствующие углы равны. 2. **Внешний угол при вершине B:** Внешний угол при вершине B равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть \(\angle CAB + \angle ACB\). 3. **Свойство параллельных прямых:** Так как биссектриса параллельна AC, то угол между биссектрисой и стороной BC равен углу \(\angle ACB\). Обозначим этот угол как \(\beta\), то есть \(\angle ACB = \beta\). 4. **Угол между биссектрисой и BC:** Биссектриса делит внешний угол пополам, следовательно, угол между биссектрисой и BC равен \(\frac{\alpha + \beta}{2}\). 5. **Выражение для \(\beta\):** Так как \(\angle ACB = \beta\) и угол между биссектрисой и BC равен \(\beta\), то получаем: \[\beta = \frac{\alpha + \beta}{2}\] Умножим обе части на 2: \[2\beta = \alpha + \beta\] Отсюда: \[\beta = \alpha\] 6. **Сумма углов треугольника ABC:** Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: \[\angle ABC + \angle CAB + \angle ACB = 180°\] \[36° + \alpha + \beta = 180°\] Так как \(\beta = \alpha\), то: \[36° + \alpha + \alpha = 180°\] \[2\alpha = 180° - 36°\] \[2\alpha = 144°\] \[\alpha = \frac{144°}{2}\] \[\alpha = 72°\] **Ответ: Величина угла CAB равна 72°.**