2. Тип 16 № 351072 Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пошаговое решение:

1. Пусть \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, а \(S\) - его площадь. Тогда \(S = \frac{1}{2}ab\).
2. Из условия, один из острых углов равен \(60°\). Пусть катет \(x\) прилежит к этому углу. Тогда второй катет \(b = x \cdot tg(60°) = x\sqrt{3}\).
3. Подставляем в формулу площади: \(512\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x\sqrt{3}\)
4. Упрощаем уравнение: \(x^2 = \frac{2 \cdot 512\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1024\)
5. Находим \(x\): \(x = \sqrt{1024} = 32\)

Ответ: 32