25. Тип 15 № 351746 Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{288\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°, тогда угол B = 30°. Площадь треугольника можно выразить как: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] где a и b - катеты треугольника. Пусть \(a\) - катет, лежащий против угла 60° (т.е. против угла A). Также известно, что: \[S = \frac{288\sqrt{3}}{3} = 96\sqrt{3}\] Известно, что \(\tan{60°} = \frac{a}{b} = \sqrt{3}\), следовательно, \(a = b\sqrt{3}\). Подставим это в формулу площади: \[96\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b\sqrt{3}\] \[192\sqrt{3} = b^2\sqrt{3}\] \[b^2 = 192\] \[b = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}\] Теперь найдем a: \[a = b\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24\] Ответ: 24