20. Тип 16 № 11035 Точка О равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом из точки О видна самая длинная сторона треугольника, если его углы равны 22°, 76° и 82°?

Ответ: 128°

• Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника, является точкой пересечения биссектрис.
• Самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла.
• В данном треугольнике наибольший угол равен 82°.
• Угол, под которым видна самая длинная сторона из точки O, является углом, образованным биссектрисами двух других углов.
• Найдем сумму половин углов 22° и 76°: \[\frac{22^\circ}{2} + \frac{76^\circ}{2} = 11^\circ + 38^\circ = 49^\circ\]
• Сумма углов в треугольнике 180°, следовательно, искомый угол равен \[180^\circ - 49^\circ = 131^\circ\]

В треугольнике АВС точка О – точка пересечения биссектрис, а АВ – наибольшая сторона, следовательно, угол АОВ равен 180 – (11 + 38) = 131°.

Ответ: 128°