18. Тип 16 № 10903 В треугольнике АВС на стороне АС отметили произвольную точку М. В треугольнике АВМ провели биссектрису МК. В треугольнике СВМ построили высоту МР. Угол КМР равен 90°, СМ = 12. Найдите ВМ.

Ответ: 12

Рассмотрим треугольник KMP. Так как угол KMP равен 90°, то треугольник KMP - прямоугольный.

MK - биссектриса угла BMA, следовательно, угол BMK равен углу KMA.

В прямоугольном треугольнике биссектриса угла является медианой, следовательно, MK - медиана.

Значит, BK = AK.

Рассмотрим треугольник ABM. MK является одновременно биссектрисой и медианой, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и BM = AM.

MP - высота треугольника CBM, следовательно, угол BMP равен 90°.

Рассмотрим треугольник CMP. По теореме Пифагора: \[CM^2 = MP^2 + CP^2\]

Рассмотрим треугольник BMP. По теореме Пифагора: \[BM^2 = MP^2 + BP^2\]

Так как BM = AM, то AM = CM = 12.

Следовательно, BM = 12.

Ответ: 12