21. Тип 10 № 7416 В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны \(5\sqrt{3}\). Найдите площадь прямоугольника, деленную на \(\sqrt{3}\).

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагональ AC = 10, \( \angle BAC = 30^{\circ} \), AB = \(5\sqrt{3}\).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) (\( \angle ABC = 90^{\circ} \)) найдем сторону BC.

Используем косинус угла \( \angle BAC \): \( cos(30^{\circ}) = \frac{AB}{AC} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это соответствует табличному значению, значит, условие корректно.

Найдем сторону BC, используя синус угла \( \angle BAC \): \( sin(30^{\circ}) = \frac{BC}{AC} \). Отсюда \( BC = AC \cdot sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).

Площадь прямоугольника равна \( S = AB \cdot BC = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} \).

Площадь, деленная на \(\sqrt{3}\), равна \( \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \).

Ответ: 25