4. Тип 9 № 8254 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 4, sinA=\frac{\sqrt{5}}{5} Найдите ВС.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Выразим BC:

$$BC = AB \cdot sin A$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Выразим AB:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$

Подставим данное выражение в формулу для BC:

$$BC = \sqrt{AC^2 + BC^2} \cdot sin A$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$BC^2 = (AC^2 + BC^2) \cdot sin^2 A$$ $$BC^2 = AC^2 \cdot sin^2 A + BC^2 \cdot sin^2 A$$

Выразим BC:

$$BC^2 - BC^2 \cdot sin^2 A = AC^2 \cdot sin^2 A$$ $$BC^2 (1 - sin^2 A) = AC^2 \cdot sin^2 A$$ $$BC^2 = \frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}$$

Извлечём квадратный корень:

$$BC = \sqrt{\frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}} = AC \cdot \frac{sin A}{\sqrt{1 - sin^2 A}}$$

Подставим известные значения:

$$BC = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2}} = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{1 - \frac{5}{25}}} = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{\frac{20}{25}}} = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{20}}{5}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{5}{20}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Ответ: 2