2. Тип 9 № 8252 В треугольнике АВС угол С равен 90°, sinA = \frac{3}{5}'АС = 4.Найдите АВ.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае:

$$sin A = \frac{BC}{AB}$$

Выразим катет BC через синус угла A:

$$BC = AB \cdot sin A$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим $$BC = AB \cdot sin A$$ в теорему Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + (AB \cdot sin A)^2$$ $$AB^2 = AC^2 + AB^2 \cdot sin^2 A$$

Выразим $$AB^2$$:

$$AB^2 - AB^2 \cdot sin^2 A = AC^2$$ $$AB^2 (1 - sin^2 A) = AC^2$$ $$AB^2 = \frac{AC^2}{1 - sin^2 A}$$

Выразим AB:

$$AB = \sqrt{\frac{AC^2}{1 - sin^2 A}}$$

Подставим известные значения:

$$AB = \sqrt{\frac{4^2}{1 - (\frac{3}{5})^2}} = \sqrt{\frac{16}{1 - \frac{9}{25}}} = \sqrt{\frac{16}{\frac{25 - 9}{25}}} = \sqrt{\frac{16}{\frac{16}{25}}} = \sqrt{16 \cdot \frac{25}{16}} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: 5