3. Тип 9 № 8253 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 17, sinA = \frac{2√5}{5} Найдите ВС.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае:

$$sin A = \frac{BC}{AB}$$

Выразим катет AB через синус угла A:

$$AB = \frac{BC}{sin A}$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим $$AB = \frac{BC}{sin A}$$ в теорему Пифагора:

$$(\frac{BC}{sin A})^2 = AC^2 + BC^2$$ $$\frac{BC^2}{sin^2 A} = AC^2 + BC^2$$

Выразим $$BC^2$$:

$$\frac{BC^2}{sin^2 A} - BC^2 = AC^2$$ $$BC^2 (\frac{1}{sin^2 A} - 1) = AC^2$$ $$BC^2 = \frac{AC^2}{\frac{1}{sin^2 A} - 1}$$

Выразим BC:

$$BC = \sqrt{\frac{AC^2}{\frac{1}{sin^2 A} - 1}}$$

Подставим известные значения:

$$BC = \sqrt{\frac{17^2}{\frac{1}{(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2} - 1}} = \sqrt{\frac{289}{\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{25}} - 1}} = \sqrt{\frac{289}{\frac{1}{\frac{20}{25}} - 1}} = \sqrt{\frac{289}{\frac{25}{20} - 1}} = \sqrt{\frac{289}{\frac{25 - 20}{20}}} = \sqrt{\frac{289}{\frac{5}{20}}} = \sqrt{\frac{289}{\frac{1}{4}}} = \sqrt{289 \cdot 4} = \sqrt{17^2 \cdot 2^2} = 17 \cdot 2 = 34$$

Ответ: 34