5. Тип 9 № 8255 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 4, sinA =\frac{3\sqrt{34}}{34} Найдите ВС.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$$

Выразим BC:

$$BC = AB \cdot sin A$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Выразим AB:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$

Подставим данное выражение в формулу для BC:

$$BC = \sqrt{AC^2 + BC^2} \cdot sin A$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$BC^2 = (AC^2 + BC^2) \cdot sin^2 A$$ $$BC^2 = AC^2 \cdot sin^2 A + BC^2 \cdot sin^2 A$$

Выразим BC:

$$BC^2 - BC^2 \cdot sin^2 A = AC^2 \cdot sin^2 A$$ $$BC^2 (1 - sin^2 A) = AC^2 \cdot sin^2 A$$ $$BC^2 = \frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}$$

Извлечём квадратный корень:

$$BC = \sqrt{\frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}} = AC \cdot \frac{sin A}{\sqrt{1 - sin^2 A}}$$

Подставим известные значения:

$$BC = 4 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{34}}{34})^2}} = 4 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\sqrt{1 - \frac{9 \cdot 34}{34^2}}} = 4 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\sqrt{1 - \frac{9}{34}}} = 4 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\sqrt{\frac{25}{34}}} = 4 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\frac{5}{\sqrt{34}}} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{34}}{34} \cdot \frac{\sqrt{34}}{5} = 4 \cdot \frac{3 \cdot 34}{34 \cdot 5} = \frac{12}{5} = 2.4$$

Ответ: 2.4