Тип 16 № 324868 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Пусть длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, равны $$3x$$, $$4x$$ и $$11x$$. Сумма этих дуг составляет полную окружность, то есть $$360^{\circ}$$ или $$2\pi R$$, где R - радиус окружности. Таким образом, $$3x + 4x + 11x = 18x = 360^{\circ}$$, откуда $$x = 20^{\circ}$$. Тогда дуги равны $$60^{\circ}$$, $$80^{\circ}$$ и $$220^{\circ}$$. Соответствующие им центральные углы также равны $$60^{\circ}$$, $$80^{\circ}$$ и $$220^{\circ}$$. Вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны половинам центральных углов, то есть $$30^{\circ}$$, $$40^{\circ}$$ и $$110^{\circ}$$. Меньшей стороне треугольника соответствует наименьший угол, который равен $$30^{\circ}$$. Пусть эта сторона равна $$a = 14$$. По теореме синусов, $$\frac{a}{\sin A} = 2R$$, где $$A$$ - угол, противолежащий стороне $$a$$, и $$R$$ - радиус описанной окружности. В нашем случае, $$\frac{14}{\sin 30^{\circ}} = 2R$$. Так как $$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{14}{\frac{1}{2}} = 28 = 2R$$. Отсюда, радиус окружности $$R = \frac{28}{2} = 14$$. Ответ: 14