19. Тип 17 № 12358 Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра кото- рого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Решим задачу:

1. Пусть задумано число $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - цифры. По условию, число чётное, больше 700 и делится на 23, последняя цифра не равна 0. Тогда $$a \in \{7, 8, 9\}$$, $$c \in \{2, 4, 6, 8\}$$.
2. Запишем число, записанное теми же цифрами в обратном порядке $$\overline{cba}$$.
3. Из условия известно, что $$\overline{abc} - \overline{cba} = 396$$. Запишем это в виде:

   $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396$$ $$99a - 99c = 396$$ $$a - c = 4$$

4. Поскольку $$a - c = 4$$, то можно перебрать возможные значения $$a$$ и $$c$$:
   • Если $$a = 8$$, то $$c = 4$$.
   • Если $$a = 9$$, то $$c = 5$$, но $$c$$ должна быть чётной, поэтому этот вариант не подходит.
5. Тогда $$a = 8$$ и $$c = 4$$. Искомое число имеет вид $$\overline{8b4}$$ и делится на 23.
6. Переберём значения $$b$$ от 0 до 9. Число должно быть вида $$804 + 10b$$ и делиться на 23.
7. Проверим числа:
   • $$b = 0: 804 \div 23 = 34.95$$ (не делится)
   • $$b = 1: 814 \div 23 = 35.39$$ (не делится)
   • $$b = 2: 824 \div 23 = 35.83$$ (не делится)
   • $$b = 3: 834 \div 23 = 36.26$$ (не делится)
   • $$b = 4: 844 \div 23 = 36.70$$ (не делится)
   • $$b = 5: 854 \div 23 = 37.13$$ (не делится)
   • $$b = 6: 864 \div 23 = 37.56$$ (не делится)
   • $$b = 7: 874 \div 23 = 38$$ (делится)
   • $$b = 8: 884 \div 23 = 38.43$$ (не делится)
   • $$b = 9: 894 \div 23 = 38.87$$ (не делится)
8. Таким образом, подходит число 874.

Ответ: 874