Тип 14 № 552108. а) Решите уравнение \(24\cdot4^{x-0.5}-11\cdot2^{x+1}+6=0\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-1;1]\).

Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(4^{x-0.5}=2^{2x-1}=t^2/2\), а \(2^{x+1}=2t\). Получаем:

\(12t^2-22t+6=0\), то есть \(6t^2-11t+3=0\).

\(D=121-72=49\), поэтому \(t=(11\pm7)/12\). Отсюда \(t=\frac32\) или \(t=\frac13\).

Возвращаясь к замене, получаем \(x=\log_2\frac32\) или \(x=\log_2\frac13=-\log_2 3\).

Для пункта б): \(-\log_2 3<-1\), поэтому этот корень не входит в \([-1;1]\). Корень \(\log_2\frac32\) входит в промежуток.

Ответ: а) \(x=\log_2\frac32,\ -\log_2 3\); б) \(\log_2\frac32\).