Тип 14 № 562757. а) Решите уравнение \(3\cdot9^{x+1}-5\cdot6^{x+1}+8\cdot2^{2x}=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac\pi2;\pi]\).

Разделим уравнение на \(2^{2x}>0\). Обозначим \(y=(\frac32)^x\). Тогда \((\frac94)^x=y^2\), и уравнение принимает вид:

\(27y^2-30y+8=0\).

Корни: \(y=\frac{30\pm\sqrt{900-864}}{54}=\frac23\) или \(\frac49\). Следовательно, \((\frac32)^x=\frac23=(\frac32)^{-1}\) либо \((\frac32)^x=\frac49=(\frac32)^{-2}\), то есть \(x=-1\) или \(x=-2\).

Оба корня принадлежат отрезку \([-\frac\pi2;\pi]\).

Ответ: а) \(x=-2,-1\); б) \(-2,-1\).