Тип 14 № 640910. а) Решите уравнение \(8^x-5\cdot2^{x+1}+16\cdot2^{-x}=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\log_5 2;\log_5 10]\).

Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Умножим уравнение на \(t\):

\(t^4-10t^2+16=0\).

Обозначим \(z=t^2\). Тогда \(z^2-10z+16=0\), откуда \(z=8\) или \(z=2\). Так как \(t>0\), получаем \(t=2\sqrt2\) или \(t=\sqrt2\), то есть \(x=\frac32\) или \(x=\frac12\).

Поскольку \(\log_5 2<\frac12\) и \(\frac32>\log_5 10\), из найденных корней промежутку принадлежит только \(\frac12\).

Ответ: а) \(x=\frac12,\frac32\); б) \(\frac12\).