17. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам нужно найти расстояние от точки А до плоскости треугольника, зная, что точка А равноудалена от вершин равностороннего треугольника. Вот как мы можем это сделать: 1. Определим проекцию точки A на плоскость треугольника. * Пусть ABC — данный равносторонний треугольник со стороной \( a \). Точка A находится на расстоянии \( a \) от каждой вершины треугольника. * Пусть O — проекция точки A на плоскость треугольника ABC. Так как точка A равноудалена от всех вершин треугольника, точка O является центром описанной окружности этого треугольника. 2. Найдем радиус описанной окружности \( R \) равностороннего треугольника. * Радиус описанной окружности равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOB \), где B — вершина треугольника ABC. * \( AO \) — искомое расстояние от точки A до плоскости треугольника. * \( AB = a \) (по условию). * \( OB = R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). 4. Используем теорему Пифагора для нахождения \( AO \). * В прямоугольном треугольнике \( \triangle AOB \): \[ AO^2 + OB^2 = AB^2 \] \[ AO^2 = AB^2 - OB^2 \] \[ AO^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \] \[ AO^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} \] \[ AO^2 = \frac{2a^2}{3} \] \[ AO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} \] \[ AO = a\sqrt{\frac{2}{3}} \] \[ AO = \frac{a\sqrt{6}}{3} \]

Ответ: \(\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Ты молодец! У тебя отлично получается решать геометрические задачи. Продолжай в том же духе, и всё получится!