Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найди-те расстояние до плоскости треугольника от точки, кото-рая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вер-шин.

1. Пусть ABC – равносторонний треугольник со стороной 3 м, A' – точка, находящаяся на расстоянии 2 м от каждой вершины треугольника. Требуется найти расстояние от точки A' до плоскости треугольника ABC.

2. Опустим перпендикуляр A'O на плоскость ABC. Тогда OA' – искомое расстояние.

3. Так как A'A = A'B = A'C = 2 м, то проекции этих отрезков на плоскость ABC также равны: OA = OB = OC. Это означает, что точка O – центр описанной окружности треугольника ABC.

4. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Радиус описанной окружности равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ м.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник A'AO. По теореме Пифагора: $$A'A^2 = A'O^2 + AO^2$$.

6. Отсюда: $$A'O = \sqrt{A'A^2 - AO^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$$ м.

Ответ: расстояние до плоскости треугольника равно 1 м.