4. Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB = 59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Дано: AD = AC, $$ \angle CAB = 80^\circ $$, $$ \angle ACB = 59^\circ $$. Найти: $$ \angle DCB $$.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, $$ \angle ABC = 180^\circ - \angle CAB - \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ - 59^\circ = 41^\circ $$.

2) Рассмотрим треугольник ADC. Так как AD = AC, то треугольник ADC равнобедренный с основанием DC. Значит, $$ \angle ADC = \angle ACD = \frac{180^\circ - \angle CAB}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ $$.

3) $$ \angle CDB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $$.

4) Рассмотрим треугольник DBC. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, $$ \angle DCB = 180^\circ - \angle DBC - \angle CDB = 180^\circ - 41^\circ - 130^\circ = 9^\circ $$.

Ответ: $$ \angle DCB = 9^\circ $$.