4. Точка $$D$$ не лежит в плоскости треугольника $$ABC$$, точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ – середины отрезков $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$ соответственно, точка $$K$$ лежит на отрезке $$BN$$ (см. рис.). Выясните взаимное расположение прямых: 1) $$PK$$ и $$BC$$; 2) $$MP$$ и $$AC$$; 3) $$MD$$ и $$BC$$.

1. $$PK$$ и $$BC$$: * Так как $$P$$ – середина $$DC$$, а $$N$$ – середина $$DB$$, то $$PN$$ – средняя линия треугольника $$DBC$$. Следовательно, $$PN \parallel BC$$. * Точка $$K$$ лежит на отрезке $$BN$$, поэтому $$K$$ лежит в плоскости $$DBC$$. Таким образом, прямая $$PK$$ лежит в плоскости $$DBC$$, а значит, $$PK$$ и $$BC$$ лежат в одной плоскости. Т.к. $$PK$$ не параллельна $$BC$$ и не совпадает с ней, то $$PK$$ и $$BC$$ пересекаются. 2. $$MP$$ и $$AC$$: * Так как $$M$$ – середина $$DA$$, а $$P$$ – середина $$DC$$, то $$MP$$ – средняя линия треугольника $$ADC$$. Следовательно, $$MP \parallel AC$$. 3. $$MD$$ и $$BC$$: * Т.к. $$M$$ лежит на $$DA$$, то $$MD$$ лежит на $$DA$$. Прямая $$DA$$ не лежит в плоскости $$ABC$$. Прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$ABC$$. Прямые $$MD$$ и $$BC$$ не пересекаются и не параллельны, значит они скрещивающиеся.