57. Точка F делит сторону BC прямоугольника ABCD в отношении 1 : 2, считая от вершины В (рис. 103). Найдите координаты векторов AF и FD.

Для решения этой задачи нам понадобятся координаты точек A, B, C, и D. Из рисунка 103 определим координаты этих точек:

$$A(5;0)$$, $$B(5;-4)$$, $$C(3;0)$$, $$D(5;0)$$.

Точка F делит сторону BC в отношении 1:2, считая от вершины B. Найдем координаты точки F. Используем формулу деления отрезка в заданном отношении. Пусть $$B(x_1;y_1)$$, $$C(x_2;y_2)$$, и $$\frac{BF}{FC} = \frac{1}{2} = \lambda$$. Тогда координаты точки F:

$$x_F = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot 3}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3 + \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = 3$$

$$y_F = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} = \frac{-4 + \frac{1}{2} \cdot 0}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-4}{\frac{3}{2}} = -4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$$

Таким образом, $$F(3; -\frac{8}{3})$$.

Теперь найдем координаты векторов $$\vec{AF}$$ и $$\vec{FD}$$.

Координаты вектора $$\vec{AF} = (x_F - x_A; y_F - y_A) = (3-5; -\frac{8}{3} - (-4)) = (-2; -\frac{8}{3} + 4) = (-2; \frac{4}{3})$$.

Координаты вектора $$\vec{FD} = (x_D - x_F; y_D - y_F) = (5-3; 0 - (-\frac{8}{3})) = (2; \frac{8}{3})$$.

Ответ: $$\vec{AF} = (-2; \frac{4}{3})$$, $$\vec{FD} = (2; \frac{8}{3})$$