461. Точки А (2; 5) и В (7; 5) – вершины прямоугольника АВCD. Модуль вектора $$\vec{BD}$$ равен 13. Найдите координаты точек С и D.

Дано: $$A(2;5)$$, $$B(7;5)$$, модуль вектора $$\vec{BD} = 13$$.

Так как ABCD - прямоугольник, то стороны AB и CD параллельны и равны, а также AD и BC параллельны и равны. Также углы между смежными сторонами равны 90 градусов.

Вектор $$\vec{AB} = (7-2; 5-5) = (5; 0)$$. Значит, сторона AB параллельна оси x, и длина стороны AB равна 5.

Пусть координаты точки D: $$(x_D; y_D)$$. Тогда $$\vec{BD} = (x_D - 7; y_D - 5)$$.

Модуль вектора $$\vec{BD}$$ равен 13:

$$\sqrt{(x_D - 7)^2 + (y_D - 5)^2} = 13$$

Так как ABCD - прямоугольник, то сторона AD перпендикулярна стороне AB. Это означает, что x-координаты точек A и D совпадают, то есть $$x_D = 2$$. Или BC перпендикулярна AB и тогда y-координаты точек B и C совпадают, то есть $$y_C = 5$$. Рассмотрим оба варианта.

1) Если $$x_D = 2$$, то

$$\sqrt{(2-7)^2 + (y_D - 5)^2} = 13$$

$$\sqrt{(-5)^2 + (y_D - 5)^2} = 13$$

$$25 + (y_D - 5)^2 = 169$$

$$(y_D - 5)^2 = 144$$

$$y_D - 5 = \pm 12$$

$$y_{D1} = 5 + 12 = 17$$

$$y_{D2} = 5 - 12 = -7$$

Итак, координаты точки D: $$D_1(2; 17)$$ или $$D_2(2; -7)$$.

Найдем координаты точки C. В прямоугольнике ABCD противоположные стороны равны. Если мы знаем координаты точки D, мы можем найти координаты точки С.

$$\vec{DC} = \vec{AB} = (5; 0)$$.

$$C = D + (5; 0)$$.

$$C_1 = (2 + 5; 17 + 0) = (7; 17)$$

$$C_2 = (2 + 5; -7 + 0) = (7; -7)$$

2) Если $$y_C = 5$$, то $$CD = AB = 5$$. Пусть $$D(x_D, y_D)$$. Тогда точка C имеет координаты $$(x_D + 5; 5)$$. Тогда $$\vec{BD} = (x_D - 7; y_D - 5)$$.

Модуль $$\vec{BD} = 13$$. Тогда $$(x_D - 7)^2 + (y_D - 5)^2 = 169$$. А так как $$C(x_D+5; 5)$$, то $$\vec{BC} = (x_D + 5 - 7; 5 - 5) = (x_D - 2; 0)$$. Тогда

Ответ: $$C_1(7; 17)$$, $$D_1(2; 17)$$, или $$C_2(7; -7)$$, $$D_2(2; -7)$$.