Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD, a AK = BК. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Доказательство:

• Дано: Точка K - середина боковой стороны CD трапеции ABCD, AK = BK.
• Доказать: Трапеция ABCD прямоугольная.
• Доказательство:
• Так как AK = BK, треугольник ABK - равнобедренный.
• Пусть углы при основании AB в треугольнике ABK равны α, то есть ∠BAK = ∠ABK = α.
• Так как K - середина CD, то CK = KD.
• Рассмотрим треугольники ADK и BCK. У них:
• AK = BK (по условию)
• CK = DK (по условию)
• ∠AKD = ∠BKC (вертикальные углы)
• Следовательно, треугольники ADK и BCK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что ∠DAK = ∠CBK.
• Обозначим ∠DAK = ∠CBK = β.
• Тогда ∠DAB = ∠DAK + ∠BAK = β + α и ∠CBA = ∠CBK + ∠ABK = β + α.
• Значит, ∠DAB = ∠CBA.
• В трапеции ABCD углы при одном из оснований равны, следовательно, трапеция ABCD - прямоугольная.