Точка N — середина стороны AB параллелограмма ABCD, а NC = ND. Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Обозначим через \(O\) точку \(N\), а векторы \(\overrightarrow{NA}=\mathbf u\) и \(\overrightarrow{ND}=\mathbf v\). Поскольку \(N\) — середина \(AB\), имеем \(\overrightarrow{NB}=-\mathbf u\). В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), поэтому \(\overrightarrow{NC}=\mathbf v-\mathbf u\) при выбранных смежных векторах от точки A; равенство длин диагональных векторов от N даёт то же условие перпендикулярности смежных сторон. Удобнее записать координатно: пусть \(A=-\mathbf u\), \(B=\mathbf u\), а \(D=-\mathbf u+\mathbf v\). Тогда \(C=\mathbf u+\mathbf v\).

Из условия \(NC=ND\) следует \(|\mathbf u+\mathbf v|=|{-\mathbf u+\mathbf v}|\begin{cases}\end{cases}\), то есть \(|\mathbf u+\mathbf v|^2=|{-\mathbf u+\mathbf v}|^2\). Раскрывая квадраты, получаем \(4\mathbf u\cdot\mathbf v=0\), следовательно, \(\mathbf u\perp\mathbf v\).

Векторы \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\) параллельны сторонам \(AB\) и \(AD\), значит, соседние стороны параллелограмма перпендикулярны. Следовательно, ABCD — прямоугольник.