3. Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С таким образом, что ОАВС – ромб. Найдите угол ОАВ. Ответ дайте в градусах.

Так как ОАВС - ромб, то ОА = АВ = ВС = СО.

Рассмотрим треугольник ОАВ. Так как ОА = АВ, то треугольник ОАВ равнобедренный. Угол АОВ равен углу АВС, как противоположные углы ромба. Так как сумма углов ромба равна 360°, а противоположные углы равны, то углы ОАВ и ОВС равны и составляют (360° - 2x∠АОВ) / 2 = 180° - ∠АОВ.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠ОАВ + ∠АВО + ∠АОВ = 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠ОАВ = ∠АВО. Тогда 2∠ОАВ + ∠АОВ = 180°.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Поэтому ∠АОВ = ∠АВС, ∠ОАВ = ∠АВО. Так как ОАВС - ромб, то ∠ОАВ = ∠АВС. Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно 2∠АОВ + 2∠ОАВ = 360°, значит ∠АОВ + ∠ОАВ = 180°.

Но ∠АОВ + ∠ОАВ = 180°, значит ∠ОАВ = 180° - ∠АОВ. Подставим это значение в уравнение 2∠ОАВ + ∠АОВ = 180°. Получаем 2(180° - ∠АОВ) + ∠АОВ = 180°, 360° - 2∠АОВ + ∠АОВ = 180°, ∠АОВ = 180°.

Так как сумма углов треугольника ОАВ равна 180°, а ∠ОАВ = ∠АВО, то 2∠ОАВ + ∠АОВ = 180°. Значит ∠ОАВ = (180° - ∠АОВ) / 2. Так как диагонали ромба перпендикулярны, ∠АОВ = 90°. Подставим это значение в уравнение ∠ОАВ = (180° - ∠АОВ) / 2 = (180° - 90°) / 2 = 45°.

Ответ: 45