Точки K и M лежат соответственно на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD; AK = KB, CM : MD = 3 : 4. Выразите вектор KM через векторы p=AB и q=AD.

Пусть \(A\) — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=p\), \(\overrightarrow{AD}=q\), а \(\overrightarrow{AC}=p+q\).

Так как \(K\) — середина \(AB\), \(\overrightarrow{AK}=\frac12p\).

Из отношения \(CM:MD=3:4\) следует, что \(\overrightarrow{CM}=\frac37\overrightarrow{CD}\). В параллелограмме \(\overrightarrow{CD}=-p\), поэтому \(\overrightarrow{AM}=p+q-\frac37p=\frac47p+q\).

Тогда \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac47-\frac12\right)p+q=\frac1{14}p+q\).

Ответ: \(\overrightarrow{KM}=\frac1{14}p+q\).