4. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-6;1); В (2; 4); C (2; -2). а. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный. b. Найдите высоту, проведённую из вершины А.

а. Чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, нужно вычислить длины сторон АВ, ВС и АС и показать, что две из них равны.

А (-6;1); В (2; 4); C (2; -2)

Длина стороны АВ = √((2 - (-6))² + (4 - 1)²) = √(8² + 3²) = √(64 + 9) = √73

Длина стороны ВС = √((2 - 2)² + (-2 - 4)²) = √(0² + (-6)²) = √36 = 6

Длина стороны АС = √((2 - (-6))² + (-2 - 1)²) = √(8² + (-3)²) = √(64 + 9) = √73

Так как АВ = АС = √73, треугольник АВС - равнобедренный.

b. Чтобы найти высоту, проведённую из вершины А, нужно:

• Найти уравнение прямой ВС.
• Найти уравнение прямой, перпендикулярной ВС и проходящей через точку А.
• Найти координаты точки пересечения этих прямых (основание высоты).
• Вычислить расстояние от точки А до основания высоты.

1) Уравнение прямой ВС:

B (2; 4); C (2; -2)

(y - 4) / (-2 - 4) = (x - 2) / (2 - 2)

(y - 4) / (-6) = (x - 2) / 0

x = 2

2) Прямая, перпендикулярная ВС и проходящая через А (-6; 1), будет горизонтальной линией y = 1.

3) Точка пересечения этих прямых будет иметь координаты (2; 1).

4) Длина высоты, проведённой из вершины А, равна расстоянию от точки А (-6; 1) до точки (2; 1):

h = √((2 - (-6))² + (1 - 1)²) = √(8² + 0²) = √64 = 8

Ответ: a) треугольник АВС - равнобедренный; b) h = 8