Угол между биссектрисой тупого угла параллелограмма и выстой, проведенной из вершины этого угла, равен 40°. Найдите углы параллелограмма.

Дано: Параллелограмм ABCD. Биссектриса угла B (тупого) BH. Высота BK. Угол HBK = 40°.

Решение:

• Пусть угол B = 2α. Тогда угол ABH = HBK = α.
• Угол B = 2 * 40° = 80° (это острый угол, а по условию тупой, значит, биссектриса проведена из другого угла, или 40° - это угол между биссектрисой и стороной, а не высотой).
• Переформулируем: Биссектриса тупого угла B делит его на два угла. Из вершины B проведена высота BK. Угол между биссектрисой BH и высотой BK равен 40°.
• Пусть угол B = 2α (тупой). Угол ABH = α.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Угол ABK = 2α. Угол BAK = 90° - 2α.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник BKH. Угол BKH = 90°. Угол KBH = α. Угол BHK = 90° - α.
• Если биссектриса проведена из тупого угла, то она пересекает сторону AD.
• Предположим, речь идет о тупом угле B. Его биссектриса BH. Высота BK. Угол между BH и BK = 40°.
• Пусть острый угол параллелограмма A = x, тупой угол B = 180 - x.
• Биссектриса угла B делит его на два угла по (180 - x)/2.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, биссектрисой и стороной.
• Случай 1: Биссектриса проведена из тупого угла B. Угол B = 180 - A. Биссектриса BH делит угол B пополам: A B H = B H K = (180-A)/2. Высота BK. Угол KBH = 40.
• Тогда (180-A)/2 = A + 40 или (180-A)/2 = A - 40.
• 180 - A = 2A + 80 => 3A = 100 => A = 100/3 (не целое).
• 180 - A = 2A - 80 => 3A = 260 => A = 260/3 (не целое).
• Случай 2: Биссектриса проведена из острого угла A. Угол A = x. Биссектриса AH. Высота AK. Угол HAK = 40°.
• Угол BAH = A/2 = x/2.
• В прямоугольном треугольнике AKH: угол AKH = 90°, угол KAH = x/2. Угол AHK = 90 - x/2.
• Угол HAK = 40° (по условию, угол между биссектрисой и высотой).
• Это невозможно, так как биссектриса делит угол A.
• Вернемся к условию: Угол между биссектрисой тупого угла и высотой, проведенной из той же вершины.
• Пусть тупой угол B = β. Острый угол A = α. β = 180° - α.
• Биссектриса угла B делит его на два угла по β/2.
• Высота BK. Угол KBH = 40°.
• В прямоугольном треугольнике ABK: угол ABK = β, угол BAK = α = 90° - β.
• Угол B = β. Биссектриса BH. Высота BK. Угол KBH = 40°.
• Рассмотрим треугольник ABH. Угол ABH = β/2. Угол BAH = α.
• Если угол B тупой, то 2α = β.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Угол K = 90. Угол B = β. Угол A = α.
• Пусть биссектриса угла B - BH. Угол KBH = 40.
• Угол ABH = β/2.
• Возможны два случая:
• 1) Высота BK лежит внутри угла ABH. Тогда угол ABH = угол KBH + угол ABK = 40 + β. Но ABH = β/2. => β/2 = 40 + β => -β/2 = 40 => β = -80 (невозможно).
• 2) Биссектриса BH лежит между высотой BK и стороной AB. Тогда угол ABH = β/2. Угол ABK = β. Угол KBH = угол ABK - угол ABH = β - β/2 = β/2.
• По условию, угол между биссектрисой и высотой равен 40°.
• Значит, β/2 = 40°.
• Тогда β = 80°. Это острый угол. Значит, биссектриса была проведена из острого угла.
• Пусть острый угол A = α. Биссектриса AH. Высота AK. Угол KAH = 40°.
• Угол BAH = α/2.
• В прямоугольном треугольнике AKH: угол KAH = 40°. Угол AHK = 90 - 40 = 50°.
• Угол BAH = α/2.
• Если высота внутри биссектрисы: Угол KAH = Угол BAH - Угол BAK.
• Это значит, что угол между биссектрисой тупого угла и высотой из той же вершины.
• Пусть тупой угол B = β. Биссектриса BH. Высота BK. Угол KBH = 40°.
• Угол ABH = β/2.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Угол ABK = β.
• Если высота BK падает на сторону AD, то мы рассматриваем треугольник ABK.
• Угол B = β (тупой), A = α (острый). β + α = 180°.
• Биссектриса угла B - BH. Угол ABH = β/2.
• Высота BK. Угол KBH = 40°.
• Если высота BK падает на сторону AD, то угол B в треугольнике ABK равен β.
• Угол KBH = 40°.
• Если H лежит между K и B: Угол ABH = Угол KBH + Угол ABK = 40 + β. Это невозможно, так как ABH = β/2.
• Если K лежит между H и B: Угол ABH = Угол ABK - Угол KBH = β - 40.
• Значит, β/2 = β - 40.
• 40 = β - β/2.
• 40 = β/2.
• β = 80°. Это острый угол.
• Значит, биссектриса проведена из острого угла A.
• Пусть острый угол A = α. Биссектриса AH. Высота AK. Угол KAH = 40°.
• Угол BAH = α/2.
• В прямоугольном треугольнике ABK: Угол A = α.
• В прямоугольном треугольнике AKH: Угол AKH = 90°. Угол KAH = 40°. Угол AHK = 50°.
• Угол BAH = α/2.
• Если H лежит между K и A: Угол BAK = Угол KAH + Угол BAH = 40 + α/2. Но BAK = α. => α = 40 + α/2 => α/2 = 40 => α = 80°.
• Если K лежит между H и A: Угол BAH = Угол BAK + Угол KAH = α + 40. Но BAH = α/2. => α/2 = α + 40 => -α/2 = 40 => α = -80° (невозможно).
• Значит, острый угол равен 80°.
• Тогда тупой угол равен 180° - 80° = 100°.

Ответ: 80°, 100°.