381. Укажите натуральные значения n, при которых √n² - 75 явля- ется натуральным числом.

Пусть $$\sqrt{n^2 - 75} = k$$, где k - натуральное число.

Тогда $$n^2 - 75 = k^2$$, откуда $$n^2 - k^2 = 75$$.

Разложим разность квадратов: $$(n - k)(n + k) = 75$$.

Так как n и k - натуральные числа, то $$n + k > 0$$ и $$n - k > 0$$. К тому же, $$n + k > n - k$$.

Разложим 75 на множители:

• $$75 = 1 \cdot 75$$, тогда $$\begin{cases} n - k = 1 \\ n + k = 75 \end{cases}$$, $$2n = 76$$, $$n = 38$$. Проверим: $$\sqrt{38^2 - 75} = \sqrt{1444 - 75} = \sqrt{1369} = 37$$ - натуральное число.
• $$75 = 3 \cdot 25$$, тогда $$\begin{cases} n - k = 3 \\ n + k = 25 \end{cases}$$, $$2n = 28$$, $$n = 14$$. Проверим: $$\sqrt{14^2 - 75} = \sqrt{196 - 75} = \sqrt{121} = 11$$ - натуральное число.
• $$75 = 5 \cdot 15$$, тогда $$\begin{cases} n - k = 5 \\ n + k = 15 \end{cases}$$, $$2n = 20$$, $$n = 10$$. Проверим: $$\sqrt{10^2 - 75} = \sqrt{100 - 75} = \sqrt{25} = 5$$ - натуральное число.

Ответ: 10, 14, 38