Ответ:

1) Верно: после слов автора перед прямой речью ставится двоеточие.

2) Неверно: после союза «что» двоеточие не ставится. Правильно: Леонардо да Винчи утверждал, что «Счастье достаётся тому, кто много трудится».

3) Неверно: при словах автора, разделяющих прямую речь, двоеточие после «добавил» не ставится. Правильно: «Пора спать, — сказал тихо Григорий Иванович Белов и добавил: „Уже стемнело давно“» — либо, при оформлении продолжения прямой речи после слов автора, «Пора спать, — сказал тихо Григорий Иванович Белов, — уже стемнело давно».

4) Верно: вопросительный знак остаётся внутри прямой речи, после закрывающих кавычек ставится тире.

5) Неверно: после слов автора, разрывающих прямую речь, двоеточие не ставится. Правильно: «Цветы завянут, — заметил садовник, — если их не поливать».

Ответ: 1, 4.