Укажите решение неравенства \( x^2 \geq 25 \).

Решение:

Решим неравенство \( x^2 \geq 25 \).

1. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить \( x^2 - 25 \geq 0 \).
2. Разложим левую часть как разность квадратов: \( (x - 5)(x + 5) \geq 0 \).
3. Найдем корни уравнения \( (x - 5)(x + 5) = 0 \). Корни: \( x = 5 \) и \( x = -5 \).
4. Эти корни делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -5] \), \( [-5; 5] \), \( [5; \infty) \).
5. Определим знак выражения \( (x - 5)(x + 5) \) на каждом интервале:
• При \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0 \).
• При \( -5 < x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0 \).
• При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0 \).
6. Так как нам нужно \( (x - 5)(x + 5) \geq 0 \), то подходят интервалы \( (-\infty; -5] \) и \( [5; \infty) \).

На числовой прямой это выглядит как два луча, исходящих из точек -5 и 5 в разные стороны, включая сами эти точки.

Ответ: 4)