Укажите решение неравенства: (x+4)(x-8)>0

Решение:

Данное неравенство является квадратным. Корни уравнения \( (x+4)(x-8) = 0 \) равны \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 8 \). Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -4) \), \( (-4; 8) \) и \( (8; +\infty) \).

Проверим знаки выражения \( (x+4)(x-8) \) на каждом интервале:

• При \( x < -4 \), например \( x = -5 \): \( (-5+4)(-5-8) = (-1)(-13) = 13 > 0 \).
• При \( -4 < x < 8 \), например \( x = 0 \): \( (0+4)(0-8) = (4)(-8) = -32 < 0 \).
• При \( x > 8 \), например \( x = 9 \): \( (9+4)(9-8) = (13)(1) = 13 > 0 \).

Неравенство \( (x+4)(x-8) > 0 \) выполняется при \( x < -4 \) или \( x > 8 \).

Графически это решение выглядит как два интервала, не включающих точки -4 и 8.

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (8; +\infty) \).