Упражнения 19. В вазе стоят 4 белых и 7 красных астр. Какова вероятность того, что среди случайно образом вынутых из вазы трех цветков окажется по крайней мере одна белая астра?

Решение:

1. Общее количество астр в вазе: \( 4 + 7 = 11 \) астр.
2. Найдем общее количество способов выбрать 3 цветка из 11: \( C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165 \) способов.
3. Проще посчитать вероятность противоположного события — что все три вынутых цветка окажутся красными.
4. Количество красных астр: 7.
5. Количество способов выбрать 3 красных цветка из 7: \( C_{7}^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35 \) способов.
6. Вероятность того, что все три вынутых цветка окажутся красными: \( P(\text{все красные}) = \frac{35}{165} \).
7. Сократим дробь: \( \frac{35}{165} = \frac{7}{33} \).
8. Вероятность того, что среди трех вынутых цветков окажется по крайней мере одна белая астра, равна 1 минус вероятность того, что все три цветка окажутся красными:
9. \( P(\text{хотя бы одна белая}) = 1 - P(\text{все красные}) \).
10. \( P(\text{хотя бы одна белая}) = 1 - \frac{7}{33} = \frac{33}{33} - \frac{7}{33} = \frac{26}{33} \).

Ответ: 26/33.