Упражнения 20. В студенческой группе 22 человека, среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайно образом выбранных из этой группы студентов для участия в конференции окажется по крайней мере одна девушка?

Решение:

1. Общее количество студентов в группе: 22.
2. Количество девушек: 4.
3. Количество юношей: \( 22 - 4 = 18 \) юношей.
4. Найдем общее количество способов выбрать 3 студентов из 22: \( C_{22}^3 = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22!}{3!19!} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 20 = 1540 \) способов.
5. Проще посчитать вероятность противоположного события — что все три выбранных студента окажутся юношами.
6. Количество способов выбрать 3 юношей из 18: \( C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816 \) способов.
7. Вероятность того, что все три выбранных студента окажутся юношами: \( P(\text{все юноши}) = \frac{816}{1540} \).
8. Сократим дробь: \( \frac{816}{1540} = \frac{204}{385} \).
9. Вероятность того, что среди троих выбранных студентов окажется по крайней мере одна девушка, равна 1 минус вероятность того, что все трое окажутся юношами:
10. \( P(\text{хотя бы одна девушка}) = 1 - P(\text{все юноши}) \).
11. \( P(\text{хотя бы одна девушка}) = 1 - \frac{204}{385} = \frac{385}{385} - \frac{204}{385} = \frac{181}{385} \).

Ответ: 181/385.