Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\dfrac yx\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Обозначим \(u=x^{1/4}\), \(v=y^{1/4}\). Тогда первый знаменатель равен \(u^3+u^2v=u^2(u+v)\), а \(x-y=u^4-v^4=(u-v)(u+v)(u^2+v^2)\). Поэтому

\(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}=(u-v)\dfrac{u^2+v^2}{u^2},\qquad \dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}=u-v.\)

Разность равна \((u-v)\dfrac{v^2}{u^2}\), а \((\frac yx)^{-1/2}=\frac{u^2}{v^2}\). Произведение равно \(u-v=x^{1/4}-y^{1/4}\).

Ответ: \(x^{1/4}-y^{1/4}\).