Упростить выражение \(\frac{a^{5/3}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot a^{1/4}}\) и найти его числовое значение при a = 81.

Представим кубический корень степенью: \(\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}\). Тогда

\(\frac{a^{5/3}}{a^{2/3}\cdot a^{1/4}}=a^{5/3-2/3-1/4}=a^{3/4}\).

При \(a=81=3^4\): \(81^{3/4}=(3^4)^{3/4}=3^3=27\).

Ответ: упрощённое выражение — \(a^{3/4}\); при \(a=81\) его значение равно \(27\).