Упростите выражение: 4) \(\left(\frac{8b}{b+7}-\frac{15b^2}{b^2+14b+49}\right):\frac{8b+41}{b^2-49}+\frac{7b-49}{b+7}\).

ОДЗ: \(b\ne -7\), \(b\ne 7\), а также \(7b^2-90b+384\ne0\).

Так как \(b^2+14b+49=(b+7)^2\), получаем:

\[\frac{8b}{b+7}-\frac{15b^2}{(b+7)^2}=\frac{8b(b+7)-15b^2}{(b+7)^2}=-\frac{7b(b-8)}{(b+7)^2}.\]

Вторую часть преобразуем:

\[\frac{8b+41}{b^2-49}+\frac{7b-49}{b+7}=\frac{8b+41+7(b-7)^2}{(b-7)(b+7)}=\frac{7b^2-90b+384}{(b-7)(b+7)}.\]

Следовательно,

\[ -\frac{7b(b-8)}{(b+7)^2}\cdot\frac{(b-7)(b+7)}{7b^2-90b+384}= -\frac{7b(b-8)(b-7)}{(b+7)(7b^2-90b+384)}.\]

Ответ: \(-\frac{7b(b-8)(b-7)}{(b+7)(7b^2-90b+384)}\).